Тыртышников Е.Е. | Лекция 6 по спецкурсу “Алгебра и геометрия тензоров“, 2023 осень | ВМК МГУ

00:00:00 Введение • Видео начинается с обсуждения понятия поля и его элементов. • Рассматривается алгебраическая независимость элементов поля и алгебраическая зависимость. 00:05:39 Степень трансцендентности • Вводится понятие степени трансцендентности расширения поля эль над полем к. • Рассматриваются примеры и теоремы, связанные с этим понятием. 00:10:12 Базис трансцендентности • Вводится понятие базиса трансцендентности над полем. • Доказывается теорема о равенстве числа элементов в любом базисе трансцендентности степени трансцендентности. 00:20:38 Алгебраические расширения • Обсуждается поле, которое является алгебраическим расширением другого поля. • Рассматривается алгебраический элемент тета, который является корнем многочлена с коэффициентами из основного поля. 00:24:43 Минимальные многочлены и поле, полученное присоединением одного алгебраического элемента • Поле, полученное присоединением одного алгебраического элемента, является множеством рациональных функций и многочленов. • Доказывается, что это поле является минимальным полем, в котором все рациональные функции и многочлены должны присутствовать. 00:31:34 Конечные расширения и алгебраические расширения • Конечные расширения являются алгебраическими расширениями. • Доказывается, что если алгебраическое расширение является конечным, то оно является алгебраическим. 00:32:31 Алгебраическая зависимость элементов расширения • Рассматривается система алгебраически зависимых элементов расширения. • Доказывается, что если один из элементов алгебраически зависит от предыдущих, то вся система алгебраически зависима. • Если система состоит только из элементов а, то она является алгебраически зависимой. 00:34:43 Теорема о монотонности • Доказывается, что если алгебраическая зависимость заменена на линейную, то доказательство первого курса, доказательства Штейниса, будет тем же. • Обсуждается понятие степени трансцендентности и его связь с дифференцированием. 00:48:01 Дифференцирование в полях • В полях можно определить дифференцирование, если поле расширяется с присоединением алгебраического элемента. • Если поле расширяется с присоединением трансцендентного элемента, то дифференцирование можно определить только на множестве многочленов. 00:55:40 Дифференцирование на более широком поле • Если поле расширяется с присоединением элемента трансцендентного, то можно определить операцию дифференцирования на более широком поле. • Для этого нужно научиться дифференцировать многочлены и рациональные функции. 00:58:33 Определение дифференцирования на все поле • Если мы знаем, как дифференцировать две рациональные функции, то мы можем определить дифференцирование на все поле. • В общем случае, значение многочленов может совпадать, но их производные могут не совпадать. 01:00:30 Определение степени трансцендентности • В видео обсуждается понятие степени трансцендентности и ее связь с линейными пространствами. • Показано, что размерность линейного пространства, соответствующего степени трансцендентности, равна степени трансцендентности. 01:10:58 Линейные пространства дифференцирования • Обсуждается понятие линейного пространства дифференцирования и его связь с полем констант. • Доказано, что размерность этого пространства равна степени трансцендентности. 01:20:45 Целое алгебраическое число • Вводится понятие целого алгебраического числа и его связь с алгебраическими многочленами. • Обсуждается, что не все целые алгебраические числа являются алгебраическими. 01:23:21 Алгебраические числа • Множество алгебраических чисел в поле является полем, то есть содержит все целые алгебраические числа. • Доказательство основано на косвенных соображениях, без предъявления многочленов, реализующих алгебраические зависимости. 01:26:54 Целые алгебраические числа • Множество целых алгебраических чисел также является полем, но не является кольцом. • Задача состоит в том, чтобы понять, почему сумма и произведение двух целых алгебраических чисел являются целыми алгебраическими числами.