Найти радиус окружности, касающейся трёх полуокружностей // Сергей Фролов / Математический мирок

На отрезке длины 2a 2b и его частях длины 2a и 2b как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от отрезка. Найти радиус окружности, касающейся трёх построенных полуокружностей. Нам потребуется следующее свойство двух касающихся окружностей: их центры и точка касания лежат на одной прямой. Построим отрезки, соединяющие центры окружностей, представленных в условии задачи полуокружностями, с центром окружности, радиус которой требуется найти. Для двух полученных треугольников запишем теоремы косинусов. Совокупность полученных равенств рассмотрим как систему уравнений относительно косинуса угла между радиусом большой окружности и её диаметром и искомого радиуса окружности. Решая данную систему, приходим к искомому выражению радиуса через a и b.