Найти сумму числового ряда через последовательностью функций // Сергей Фролов / Математический мирок

Имеется последовательность функций, заданная рекуррентно: f_0(x)=e^x, f_n=x∙f_(n−1)’(x). Найти сумму числового ряда с общим членом f_n(1)/n!, где n изменяется от нуля до бесконечности. Для решения задачи представим каждую функцию в виде степенного ряда по степеням x. Подставив единицу в полученные ряды, придём к числовым рядам, сходящимся к значениям функций в точке x=1. Далее подставляем полученные числовые ряды в выражение, значение которого мы ищем. В результате получаем повторный ряд, в котором меняем порядок суммирования, что позволяет с лёгкостью найти суммы внутреннего и внешнего числовых рядов.