Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Геометрия 8 класс Урок№32 - Вписанная окружность. На уроке мы узнаем о вписанной окружности, правиле её существования для многоугольника. Рассмотрим окружность с центром в точке O и некоторым радиусом Проведем к этой окружности несколько касательных, которые попарно пересекаются. Соединим точки пересечения касательных отрезками. Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник называется описанным около этой окружности. Окружность с центром в точке O вписана в многоугольник ABCDEF. Многоугольник ABCDEF описан около окружности с центром O. Не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Рассмотрите рисунки. Окружность с центром O не является вписанной в четырехугольник ABCD, т.к. CD не касается этой окружности. Окружность с центром O является вписанной в треугольник ABC, т.к. все стороны треугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность. Дано: ∆ABC Доказать: существует окружность, вписанная в ∆ABC Построим точку пересечения биссектрис треугольника, обозначим ее O. Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника. Основания перпендикуляров обозначим точками K, M, N. Точка О принадлежит биссектрисам углов, поэтому она равноудалена от AB, BC и AC, значит OK = OM = ON. Проведем окружность с центром в точке О и радиусом OK. Она будет проходить через точки K, M и N. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OM и ON. Поэтому окружность с центром О и радиусом OK является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана. Показан способ построения окружности, вписанной в треугольник. А сколько таких окружностей можно вписать в треугольник? Пусть в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника, и значит, совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. А радиус такой окружности равен расстоянию от центра до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. Вывод: в треугольник можно вписать только одну окружность. Рассмотрим четырехугольник, в который окружность вписать можно. Напомним, что отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Поэтому BK = BP, CK = CM, DM = DN, AN = AP. Составим сумму отрезков АВ CD = AP PB DM MC BC AD = BK KC AN ND Из трёх равенств следует, что АВ CD = ВC AD. Свойство доказано. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Верно и обратное: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.