Разбор отборочного этапа олимпиады ИТМО 2024 (2 часть)

Сколько решений, не превосходящих 1500, имеет уравнение x{x}=50 В куб с ребром 10 вписали сферу, а в эту сферу вписали ещё один куб. Найдите площадь поверхности получившегося куба. Найдите наименьшее значение выражения 60x^2 \dfrac{ 225}{60x^2 1} 1 В прямоугольной таблице 12\times14 стоят неотрицательные числа. В каждой строке и каждом столбце с нечётным номером сумма чисел не меньше номера этой строки или этого столбца. Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел во всей таблице? Найдите наименьшее натуральное число n такое, что число натуральных делителей n на 82 меньше, чем у n^2 В некоторой стране было 10 городов. Каждые два были соединены двусторонним авиарейсом. Стоимость полёта в обе стороны была одинакова и составляла целое число тугриков. Оказалось, что некоторые прямые рейсы стоили дороже, чем маршруты с пересадками между теми же самыми городами. Все такие рейсы закрыли, после чего оказалось, что между любыми двумя городами можно пролететь единственным образом (если, конечно, не совершать полётов туда-обратно). Барон Мюнхгаузен хвастался, что ему удалось воспользоваться каждым из авиарейсов (как впоследствии закрытым, так и уцелевшим) хотя бы в одном направлении. Черепаха ползёт по параболе y=\dfrac{x^2}{64}. Точку, в которой находится черепаха, перпендикулярно проецируют на оси абсцисс и ординат. Проекция на ось ординат движется вверх со скоростью10\sqrt{y}. С какой скоростью движется проекция на ось x в момент, когда x=400? Сколько решений имеет уравнение \cos(5x) \cos(12x) \cos(19x) \ldots \cos(453x)=0 на промежутке [0;2\pi)? Окружности O_1 и O_2 касаются в точке A, окружности O_2 и O_3 касаются в точке B, окружности O_3 и O_4 касаются в точке C, окружности O_4 и O_1 касаются в точке D. Все касания — внешним образом. Радиусы окружностей составляют 6, 7, 14, 2, соответственно. Какое наибольшее значение может принимать площадь четырёхугольника с вершинами в центрах данных окружностей? Последовательность \{a_n\} задана следующими условиями: a_1=24 a_2=26 Каждое следующее a_n равно среднему арифметическому всех предыдущих членов, к которому добавили 4n -\frac{ 18 }{n 1}. Найдите a_{ 2000 }