Доказать, что a∙b^⅓+c∙b^⅔ ∉ ℤ, если a, b, c ∈ ℤ, b^⅓ ∉ ℤ и |a|+|c|≠0 // Сергей Фролов / Математический мирок

Известно, что вещественные числа a, b, c являются целыми, кубический корень из b целым не является, причём хотя бы одно из чисел a и b отлично от нуля. Доказать, что число a∙cbrt(b) c∙cbrt(b^2) не является целым. Доказывать данное утверждение будем от противного. Допустим, что данное число является целым и придём к противоречию. Несложно также доказать, что это число является иррациональным. В ходе решения задачи считаем известным, что корень натуральной степени из целого числа (если он определён) может быть только целым числом или иррациональным. Таким образом, рациональным нецелым числом он быть не может. Это утверждение можно доказать с использованием теоремы о рациональных нулях многочлена.