Боровских А.В. семинар Фоменко - Геометрия группы Ли в групповом анализе одномерного кинетического уравнения

Боровских Алексей Владиславович, . Аннотация: Будет представлен феномен, обнаруженный в рамках исследования, посвященного проблеме перехода от кинетических уравнений к уравнениям сплошной среды. В рамках этого исследования потребовалось разобраться с геометрической интерпретацией полученной классификации одномерных кинетических уравнений. Оказалось, что на группе Ли можно задать геометрию и обсуждать ее геометрические свойства, кардинально отличные от того, что в свое время обсуждал Э. Картан. А именно: на группе Ли размерности $n$ имеется $n(n 1)/2$-мерное линейное пространство метрик, которые инвариантны относительно группы. Все они являются квадратичными формами (с постоянными коэффициентами) от набора из n дифференциальных форм первого порядка, также инвариантных относительно группы. Если рассмотреть матрицу коэффициентов этих дифференциальных форм, то и обратная к ней матрица порождает алгебру Ли на этой группе (которая названа двойственной), отличную от порождающей алгебры и определяемую условием коммутации любых двух операторов этой пары алгебр. Линии на группе, инвариантные относительно этой группы, являются траекториями однопараметрических подгрупп, порожденных двойственной алгеброй, и эти линии оказываются спиралями (то есть все их кривизны являются постоянными) в любой из метрик, инвариантных относительно рассматриваемой группы. При этом уравнения Френе этих кривых редуцируются к линейному выражению следующих кривизн через предыдущие с постоянной матрицей, определяемой через структурные константы двойственной алгебры. Такую же редукцию можно осуществить с тензорами Римана и Риччи. Название: “Разделение переменных, новые интегрируемые системы и геометрия Нийенхейса“.