Доказать, что интеграл от x·e^(x–x^2) на [0,1] меньше, чем (e–1)/e // Сергей Фролов / Математический Мирок

Доказать, что определённый интеграл от функции x·e^(x–x^2) на отрезке [0,1] меньше, чем (e–1)/e. Для решения задачи оценим сверху интеграл, стоящий в левой части неравенства. Нам потребуется сделать замену переменной t=x–1/2, после чего воспользоваться свойствами определённых интегралов от нечётный и чётных функций по симметричным промежуткам интегрирования. Далее оценим сверху подынтегральную функцию посредством построения касательной к графику подынтегральной функции, воспользовавшись выпуклостью вверх подынтегральной функции на промежутке интегрирования. От неравенства для функций перейдём к неравенствам для определённых интегралов от них, после чего, найдя интеграл в правой части неравенства, получим искомую оценку исходного интеграла справа достаточно простой рациональной дробью. Нам останется лишь доказать, что эта дробь меньше, чем (e–1)/e, что достаточно легко сделать.