Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 37. Отклонение геодезических (2). Тождества Бьянки. Метрика

Аудиодорожка Ч36 по загадочным причинам не сохранилась, поэтому придётся обойтись кратким пересказом событий этой части и сразу перейти к Ч36. Нужно отметить, что материал стал более сложным для понимания, у меня не всегда есть ясное понимание скрывающихся за формулами концепций. Уточняющие вопросы и комментарии горячо приветствуются! 1. В Ч36 мы продолжили разбираться с конструкцией отклонения геодезических: (∇_T ∘ ∇_T) U. T — это векторное поле касательных к геодезическим, мы трактуем его как координатно-базисное (важно, что координатное) поле, соответствующая координата t которого описывает движение вдоль геодезических. Но геодезическую надо выбрать, и за этот выбор отвечает координата s, условно описывающая «объём» геодезических, проходящих через «отрезок» (l ∈ [0,1]) ↦ (s l·Δs, t) (этакая функциональная нотация). В предыдущей части смятение в интерпретации вызвала неправильная трактовка Δs. Если трактовать это значение, как число (как и подобает координате), то всё встаёт на свои места. Отклонение геодезических с «индексами» s и s Δs описывает то, как быстро и с каким ускорение убегают друг от друга точки (t, s) и (t, s Δs) с изменением координаты t (обычно, но не обязательно, времени). Демонстрируем эту логику расчётами для сферы. 2. Рассматриваем тождества Бьянки: алгебраическое и дифференциальное, — соответствовать которым должен любой уважающий себя тензор внутренней кривизны. Пока машина грызёт гранит символьных вычислений, рассуждаем о метрике, как об отношении длин векторов на координатной плоскости и соответствующих им проекций на многообразии. #физика, #геометрия и #lisp; #иммуроран и современный #матан