Задача о пространственном четырёхугольнике, описанном около сферы // Сергей Фролов / Математический мирок

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости. Эта задача взята из сборника статей академика Андрея Николаевича Колмогорова “Математика — наука и профессия“. Идея решения заключается в дополнительных построениях. Мы строим три попарно пересекающиеся прямые. Одна из этих прямых оказывается параллельной прямой, проходящей через первую и вторую точки касания, вторая — прямой, проходящей через третью и четвёртую точки, а третья — проходящей через первую и третью. В результате мы приходим к тому, что плоскость, содержащая построенные три попарно пересекающиеся прямые, параллельна как плоскости, проходящей через первую, вторую и третью точки касания, так и плоскости, проходящей через первую, третью и четвёртую точки. Это заключение делается на основе следующей теоремы. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Таким образом, две последние плоскости параллельны одной и той же плоскости, а значит, либо сами параллельны, либо совпадают. Очевидно, имеет место последнее, т. к. эти две плоскости имеют общие точки. Таким образом, все четыре точки касания сторон пространственного четырёхугольника сферы оказываются лежащими в одной плоскости.
Back to Top