Алгебра 9 класс (Урок№38 - Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.)
Видео на Дзен
Алгебра 9 класс
Урок№38 - Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Из определения следует, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Обозначим сумму первых n членов геометрической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму.
Умножим полученное равенство на знаменатель прогрессии q.
Учитывая, что a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4 ... an-1q = an, получаем равенство 2.
Вычитаем из равенства 2 равенство 1.
При q, не равном единице, делим обе части равенства на q минус 1 и получаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём количество зёрен, которые попросил в награду у принца создатель шахмат: на первую клетку шахматной доски он просил положить одно зерно, на каждую следующую в два раза больше зёрен, чем на предыдущую.
Заметим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2. В этой прогрессии 64 члена – по количеству клеток на шахматной доске. На последнюю клетку нужно было положить 2 в 63-й степени зёрен.
А общее количество зёрен равно сумме первых 64-х членов данной геометрической прогрессии.
Вычислим приближённо массу всего зерна. Заметим, что 2 в десятой степени равно 1024, округлим до 1000. Тогда в награду изобретателю нужно дать 16, умноженное на 10 в 18-й степени зёрен.
Масса одного пшеничного зерна составляет примерно 0,06 грамма.
Масса всех зёрен должна составить примерно 10 в 12-й степени тонн, то есть триллион тонн. Однако, такого количества пшеницы не собрало человечество за все годы своего существования.
По полученной формуле можно находить сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны её первый и n-й члены, знаменатель и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n-й член. И не обязательно его находить.
Воспользуемся формулой n – го члена геометрической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы первых n членов – через первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Найдём сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 4400 и знаменателем –0,1.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 364, её знаменатель равен 3. Найдём первый член.
Запишем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение.
Первый член геометрической прогрессии равен 1.
1 view
701
255
1 month ago 00:14:21 1
Сложение и вычитание дробей / 6 класс / Математика
1 month ago 00:17:44 1
Решение уравнений / 5 класс / Математика
1 month ago 00:16:19 1
НОК / Наименьшее общее кратное / 6 класс / Математика
1 month ago 00:19:53 1
Действия с натуральными числами / 5 класс / Математика
1 month ago 00:23:14 1
Работа с числовыми выражениями / 5 класс / Математика
1 month ago 00:27:46 1
Действия с дробями / 5 класс / Математика
1 month ago 00:12:47 1
#200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА?
1 month ago 02:28:42 1
Математика для поступивших. Разбор семестровой работы МФТИ | #ТрушинLive #011 | Борис Трушин |
1 month ago 00:00:00 1
Урок 10 (Скалярное произведение векторов). Геометрия 9 класс.
1 month ago 02:10:20 1
Досрочный ОГЭ по математике от
1 month ago 02:22:03 1
№23 | Все типы задач на ОГЭ по математике
1 month ago 02:23:05 1
Самые сложные задачи из ОГЭ по математике | первая часть
1 month ago 01:36:21 1
№19 в ЕГЭ 2024 по математике I Среднее арифметическое | Идея минимальной суммы | Четность
1 month ago 00:44:13 1
Лучший учебник по математике. Как найти хорошую школу. Проблема смартфонов - Алексей Савватеев
1 month ago 00:01:34 1
Видеовизитка Дудкин Илья | Математика 9-11 классы
1 month ago 02:55:14 1
Порешаем IMC | #ТрушинLive #012 | Борис Трушин |
1 month ago 02:37:28 2
✓ Аналитическая геометрия. Начало | Для студентов и школьников | #ТрушинLive #046 | Борис Трушин
1 month ago 03:03:31 1
Как построить график функции | #ТрушинLive #013 | Борис Трушин |