Отборочный этап олимпиады “Бельчонок“ 2024-2025

Курс подготовки к олимпиадам: Страница олимпиады на нашем сайте: Наш ТГК с ежедневными задачками: Задания: 1. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке К. Хорда PQ большей окружности касается меньшей окружности в точке R. Отрезки РК и QK пересекают меньшую окружность в точках Р1 и Q1 соответственно. Найдите площадь треугольника PQK, если PR = 7, QR = 5, P1Q1 = 9. В ответ укажите квадрат полученной величины. 2. В описанном пятиугольнике KLMNP даны длины сторон KL=10, LM=9, MN=11, NP=8, РК=12. Диагонали КМ и LP пересекаются в точке Х. Найдите отношение площадей треугольников KXN и LXN. 3. На хоккейный турнир съехались 12 команд. Каждая с каждой должна сыграть не более чем по одному разу. Сколькими способами можно составить расписание первых двух туров? (В каждом туре все команды разбиваются на пары и все матчи проходят одновременно, важно, в каком именно туре команды встречаются.) 4. Точка М с абсциссой -2 принадлежат гиперболе у =1/х. Через М проведены две прямые с угловыми коэффициентами 2 и 1/2 пересекающие гиперболу в точках К и L (отличных от точки М) соответственно. Найдите координаты центра описанной окружности треугольника K LM. В ответ запишите сумму координат полученной точки. 5. При каком наибольшем натуральном т число m^8 m^6 m^4 m^2 100 делится на m 1? 6. В выражении (a b c)^2026 (a - b - c)^2026 раскрыли скобки и привели подобные члены. Сколько получилось одночленов с коэффициентами отличным от нуля? 7. Даны два натуральных числа а > b, причем а = (а - b) * b = 6 • НОД(а, b). Найдите НОК(а, b). Если ответов несколько, в ответ запишите наибольшее из полученных чисел. 8. Известно, что 1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ х100 ≤ 2^50. Найдите наименьшее значение выражения x1/x2 x3/x4 ... x99/x100 9. Найдите число ожерелий без застежки, составленных из 101 синей и 4 красных бусин, где красные бусины не находятся рядом. 10. Последовательность xn строится следующим образом: х0 = 0, xn = x_{n-1} 1, если частное от деления п на максимальную степень тройки, входящую в его разложение, сравнимо с 1 по модулю 3 и xn = x_{n-1} - 1 в противном случае. Найдите x2030