Вариант #14 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 02:28 В ромбе ABCD угол CDA равен 78°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Задача 2 – 04:41 Даны векторы a ⃗ (7;1) и b ⃗ (-1;-7). Найдите косинус угла между ними. Задача 3 – 09:07 Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра. Задача 4 – 11:11 Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и последнюю игры. Задача 5 – 15:18 Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Задача 6 – 19:20 Найдите корень уравнения 1/(3x-1)=5. Задача 7 – 21:15 Найдите значение выражения 7√2 sin⁡〖15π/8〗∙cos⁡〖15π/8〗. Задача 8 – 25:57 На рисунке изображён график y=f^’ (x)- производной функции f(x), определённой на интервале (-9;8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-3;3]. Задача 9 – 27:59 Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения P (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P=σST^4, где σ=5,7∙10^(-8)- постоянная, площадь поверхности S измеряется в квадратных метрах, а температура T- в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности S=1/18∙10^21 м^2, а излучаемая ею мощность P равна 4,104∙10^27 Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина. Задача 10 – 33:32 Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 34 часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс? Задача 11 – 40:44 На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков. Задача 12 – 46:06 Найдите наименьшее значение функции y=(3x^2 21x-21) e^x на отрезке [-5;3]. Задача 13 – 53:28 а) Решите уравнение 2 sin⁡2x 2 sin⁡(-x)-2 cos⁡(-x) 1=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2;4π]. Разбор ошибок 13 – 01:03:33 Задача 15 – 01:06:06 Решите неравенство (2∙4^(x-2))/(2∙4^(x-2)-1)≤7/(4^x-1) 40/(16^x-9∙4^x 8). Разбор ошибок 15 – 01:13:25 Задача 16 – 01:16:07 В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2360 тысяч рублей. Задача 18 – 01:37:11 Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {■(4x-y a=0, @2|y|-x^2 4x=0)┤ имеет ровно два различных решения. Задача 19 – 02:18:10 Целое число S является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел. а) Может ли S равняться 9? б) Может ли S равняться 2? в) Найдите все значения, которые может принимать S. Задача 17 – 02:28:50 В окружность вписана трапеция ABCD, AD- большее основание, проведена высота BH, вторично пересекающая окружность в точке K. а) Докажите, что AC перпендикулярна AK. б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, ∠BAC=30°, CK пересекает основание AD в точке N. Площадь четырёхугольника BHNC в 35 раз больше, чем площадь треугольника KHN. Задача 14 – 02:43:55 Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. а) Докажите, что cos⁡〖∠ASC〗 cos⁡〖∠BSC〗=1,5. б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1, cos⁡〖∠ASC〗=2/3.