А.П. Солдатов | О граничных свойствах конформных отображений

О граничных свойствах конформных отображений А.П. Солдатов, Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление“РАН, Москва Пусть односвязная область $D$ ограничена гладким контуром $\Gamma$ и $\omega$ - конформное отображение этой области на единичный круг. Обозначим $e(t), t \in \Gamma$, единичный касательный вектор в точке $t$, ориентированный в положительном направлении (оставляющем область слева). Классическая теорема Келлога утверждает, что если $e$ принадлежит классу Гельдера $C^{\mu}(\Gamma), \mu \in (0,1)$, то $\ln \omega^{\prime}(z) \in C^{\mu}(\bar{D})$. Справедлив и локальный вариант этой теоремы по отношению к фиксированной точки $\tau \in \Gamma$ : если $e \in C_{l o c}^{\mu}(\Gamma, \tau)$, т.е. если $e \in C^{\mu}(G)$ на любой дуге $G \subseteq \Gamma$, не содержащей $\tau$, то $\ln \omega^{\prime} \in C_{l o c}^{\mu}(\bar{D}, \tau)$. В докладе обсуждаются банаховы пространства $X(G, \tau) \subseteq(\Gamma) \cap C_{l o c}^{\mu}(G, \tau)$ на множествах $G=\Gamma$ и $G=\bar{D}$, таких, что $e \in X(\Gamma, \tau)$ влечет $\ln \omega^{\prime} \in X(\bar{D}, \tau)$.