Задача об автомобилях и возах из книги Владимира Арнольда // Сергей Фролов / Математический мирок

Из города A в город B ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные верёвкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу? (Автор задачи — Н. Н. Константинов. Задача опубликована в книге В.И. Арнольда «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Москва, 1975.) Для решения задачи введём в рассмотрение для каждого из четырёх объектов функцию, зависящую от времени, значение которой в момент времени t равно расстоянию от объекта до пункта A по той дороге, по которой он передвигался. Если мы приравняем x и y функции, соответствующие автомобилям, то получим параметрические уравнения некоторой кривой в прямоугольной системе координат Oxy. Аналогичную кривую можно получить и для возов. Из предположения, что возы смогут разминуться, не коснувшись, следует, что эти две кривые пересекаются. Это означает, что в некоторый момент времени возы займут те же положения на дорогах, которые раньше занимали автомобили. Но такого быть не может, т. к. в этот момент времени расстояние между центрами возов было бы меньше 2l, что невозможно физически. Таким образом, упомянутое выше предположение неверно и возы разминуться, не соприкоснувшись, не смогут.