Отборочный этап олимпиады РосАтом по математике 2024-2025

Наш курс: Про олимпиаду РосАтом: олимпиады/росатом/ Другие задачи отбора: Пять лампочек, среди которых 2 неисправные, соединены между собой согласно приведенной схеме. По внешнему виду невозможно понять какие две из ламп несправные. У Васи есть ровно две исправные лампочки для их замены. За одну операцию Вася может вывернуть лампочку, вернуть ее на место или заменить на другую лампочку и проверить сеть включением. Найти наименьшее число операций, которые должен планировать сделать Вася, чтобы с уверенностью обнаружить неисправность и устранить ее. Петя написал на доске несколько чисел, а Вася заметил, что квадрат каждого числа больше произведения любой пары чисел из оставшихся. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске? Две кривые на плоскости с уравнениями у = cos и х = 50 • cos 50у пересекаются. Для точек их пересечения, расположенных в первой четверти (х > 0, у > 0), определены два числа: р - сумма их абсцисс и q - сумма их ординат. Найти отношение р:q. При каких целых значениях р уравнения 2х^2 px -4=0 и 4x^2 - 6x р = Оимеют общий корень? Один из углов треугольника АВС, вписанного в круг радиуса R = 3, равен alpha = 30° . Найти наибольшее при этих условиях значение площади треугольника. Ответ округлить до трех значащих цифр по правилам округления и ввести в предложенное поле. Сумма двух натуральных чисел равна 2022. Если у одного из них зачеркнуть две последние цифры, умножить полученный результат на три, то получится число на восемь большее другого числа. Найти эти числа. Наименьшее из них ввести в предложенное поле В «малом» зале кинотеатра два ряда по четыре кресла в каждом. Среди пришедших на сеанс 8 зрителей не оказалось двух, имеющих одинаковый рост. Сколькими различными способами можно их рассадить по креслам так, что перед каждым зрителем второго ряда сидел человек меньшего роста? На плоскости отмечены 48 точек пересечения прямых, каждые две из которых не параллельны. Через 9 из них проходят ровно три прямые, остальные являются общими только для двух прямых. Сколько прямых нарисовано на плоскости? Первый член последовательности а_1= 15 . Все остальные члены последовательности а_n при n>1 различные целые числа такие, что значения sqrt(a_{n-1}a_{n}), также целые при всех n. Произвели выборку из нескольких членов последовательности, сумма которых не превосходит 10000. Какое максимальное число членов последовательности могло попасть в такую выборку? Известно, что при некотором а уравнение 3^x- 3^(-x)= 2cos ах имеет ровно 2021 решение. Сколько решений имеет уравнение 3^x 3^(-x)= 2 cos ax 4 при том же значении а ?