Вариант #5 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 01:45 Основания трапеции равны 2 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Задача 2 – 05:07 На координатной плоскости изображены векторы a ⃗ и b ⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора a ⃗ 4b ⃗. Задача 3 – 08:56 В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах. Задача 4 – 13:49 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии. Задача 5 – 16:48 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах. Задача 6 – 21:29 Найдите корень уравнения log_2⁡(7-x)=5. Задача 7 – 22:51 Найдите значение выражения log_2⁡240-log_2⁡3,75. Задача 8 – 25:42 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/2 t^2 4t 27, где x – расстояние от точки отсчёта в метрах, t- время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2 с. Задача 9 – 29:37 При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями u и ν (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле f=f_0∙(c u)/(c-ν), где f_0=170 Гц – частота исходного сигнала, c- скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=2 м/с и ν=17 м/с – скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости c распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с. Задача 10 – 33:09 Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки? Задача 11 – 37:08 На рисунке изображён график функции вида f(x)=k/x. Найдите значение f(10). Задача 12 – 39:38 Найдите точку максимума функции y=(2x-1) cos⁡x-2 sin⁡x 5 принадлежащую промежутку (0;π/2). Задача 13 – 44:19 а) Решите уравнение cos^2 x sin⁡x=√2 sin⁡(x π/4). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2]. Задача 15 – 56:38 Решите неравенство (x-7) log_(x 3)⁡(x 1)∙log_3⁡〖(x 3)^3 〗≤0. Разбор ошибок 15 – 01:09:30 Задача 16 – 01:15:40 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400 000 рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 330 000 рублей, а во второй год – 121 000 рублей. Задача 18 – 01:27:44 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (2x-x^2 )^2-4√(2x-x^2 )=a^2-4a имеет хотя бы один корень. Задача 19 – 01:48:56 В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25% от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20% от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров? Задача 17 – 02:06:23 В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N- середины катетов AC и BC соответственно, CH- высота. а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны. б) Пусть P- точка пересечения прямых AC и NH, а Q- точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH=12 и BH=3. Задача 14 – 02:28:43 В правильной треугольной призме ABCA_1 B_1 C_1 все рёбра равны 4. Точка M- середина ребра AA_1. а) Докажите, что прямые MB и B_1 C перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми MB и B_1 C.