Décomposition en facteurs premiers et ordinateur quantique (l’algorithme de Shor)

Factoriser les entiers en produits de nombres premiers est un problème central pour de nombreuses applications cryptographiques, et il est réputé difficile (exponentiel en le nombre de chiffres de l’entier à factoriser). Cependant, un ordinateur quantique pourrait effectuer cette tâche en complexité polynomiale, en utilisant l’algorithme de Shor. Dans cette vidéo, je décortique cet algorithme et explique comment il exploite de façon fondamentale la superposition quantique. Avant cela, il sera nécessaire de faire quelques rappels d’arithmétique : entiers modulo N, corps finis, groupe des inversibles, ordre d’un élément, etc. On verra ensuite comment la transformée de Fourier quantique permet de détecter à l’aide d’astucieuses interférences l’ordre d’un entier modulo N, et comment cela permet, quand on la combine avec des algorithmes utilisant des fractions continues, de factoriser efficacement les entiers. LIEN VERS LES NOTES DE LA VIDÉO : ------------------------------------------------------------------- Je m’appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j’essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j’ai également un compte Tipeee Discord : Twitter : Mon site personnel : Tipeee : ------------------------------------------------------------------- Référence : Je me suis énormément appuyé sur le livre de Nielsen et Chuang, “Quantum Computation and Quantum Information“, Cambridge University Press, 2010. ------------------------------------------------------------------- Plan : Introduction 00:00 Début 8:20 Le problème difficile de la factorisation I) Transformée de Fourier Quantique 21:40 Qu’est-ce que la QFT ? 30:15 Exemples en petite dimension 44:00 Circuits quantiques II) Arithmétique 1:01:00 Rappels sur l’arithmétique modulaire 1:12:17 Ordre d’un élément modulo N 1:17:34 Problème du logarithme discret 1:26:44 Illustration sur Mathematica III) Logarithme discret quantique 1:30:50 Circuit quantique pour l’ordre d’un élément 1:48:48 Mesure de phase et fractions continues IV) Décomposition en facteurs premiers 2:01:50 Lemmes préliminaires 2:18:00 Algorithme de Shor 2:34:55 Résumé et conclusion