Вариант #7 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 02:46 Угол между стороной и диагональю ромба равен 54°. Найдите острый угол ромба. Задача 2 – 04:27 Даны векторы a ⃗ (3;4) и b ⃗ (-4;-3). Найдите косинус угла между ними. Задача 3 – 08:14 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2. Задача 4 – 12:38 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии. Задача 5 – 14:39 Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»? Задача 6 – 17:04 Найдите корень уравнения lg⁡(x 11)=1. Задача 7 – 19:02 Найдите sin⁡2α, если cos⁡α=0,6 и π α 2π. Задача 8 – 24:07 На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-9;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Задача 9 – 25:30 Водолазный колокол, содержащий v=2 моля воздуха при давлении p_1=1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p_2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A=αvT log_2⁡〖p_2/p_1 〗, где α=13,3 Дж/(моль∙К)- постоянная, T=300 К – температура воздуха. Найдите, какое давление p_2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15960 Дж. Задача 10 – 29:22 Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 25 км. Путь из A в B занял у туриста 6 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Задача 11 – 32:47 На рисунке изображён график функции вида f(x)=a^x. Найдите значение f(3). Задача 12 – 36:36 Найдите точку максимума функции y=x^3-6x^2 9x 5. Задача 13 – 44:01 а) Решите уравнение 1/(sin^2 x) 1/sin⁡x -2=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2;3π]. Разбор ошибок 13 – 54:50 Задача 15 – 58:59 Решите неравенство 1 11/(2^x-8) 28/(4^x-2^(x 4) 64)≥0. Разбор ошибок 15 – 01:08:11 Задача 16 – 01:14:18 15-го августа 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15-го числа 10-го месяца долг составит 400 тысяч рублей; – к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита. Задача 18 – 01:32:40 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2^x-a=√(4^x-a) имеет единственный корень. Задача 19 – 01:48:18 Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое – трёхзначное и оба кратны 45. а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре? Задача 17 – 02:01:26 В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM=BC и CN=AC. Отрезки CP и CQ- биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно. а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны. б) Найдите PQ, если BC=3, а AC=5. Задача 14 – 02:23:58 В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 все рёбра равны 5. На его ребре BB_1 отмечена точка K так, что KB=3. Через точки K и C_1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD_1. а) Докажите, что A_1 P:PB_1=1:2, где P- точка пересечения плоскости α с ребром A_1 B_1. б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.