При каком угле наклона ствола к горизонту площадь под траекторией снаряда максимальна? // Сергей Фролов / Математический мирок

Каким должен быть угол наклона ствола орудия к горизонту, чтобы при данной скорости вылета снаряда площадь под траекторией снаряда была наибольшей? Сопротивление воздуха не учитывать. Как известно, снаряд, выпущенный под углом к горизонту в безвоздушном пространстве, движется по траектории, представляющей собой параболу, направленную ветвями вниз. Введём прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы точки вылета снаряда из ствола и его приземления располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, а ветви параболы были направлены вниз. Теперь нам нужно найти такой угол между вектором начальной скорости и осью абсцисс, при котором площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой и осью абсцисс, будет наибольшей. Обозначим абсциссу пересечения параболы с осью Ox буквой a, а ординату вершины параболы — буквой h. Несложно выразить площадь криволинейной трапеции под параболой через параметры a и h с помощью определённого интеграла. Теперь нам нужно выразить данные параметры через проекции вектора начальной скорости на координатные оси. Сделаем это, учитывая, что h — это максимальная высота подъёма снаряда, а 2a — это дальность его полёта. Нам понадобятся уравнения движения снаряда (мы моделируем его материальной точкой). С учётом того, что движение снаряда вдоль оси абсцисс является равномерным, а вдоль оси ординат —равноускоренным, записать эти уравнения несложно. В итоге мы приходим к выражению площади криволинейной трапеции через проекции начальной скорости на координатные оси (а также через ускорение свободного падения). Эти проекции выражаем через модуль вектора начальной скорости, который фиксирован, и угол наклона данного вектора к оси абсцисс, который считаем переменным. В итоге мы выражаем площадь криволинейной трапеции через угол наклона. Остаётся лишь найти точку, в которой данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке [0, π/2].