Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 42. Уравнение ОТО как уравнение Пуассона

Проводим аналогию между уравнением Пуассона для ньютоновской гравитации и уравнением Эйнштейна для общей теории относительности. Для этого показываем вычислениями следующее. 1. Тензор кривизны Риччи для согласованной с ньютоновской метрикой g связности является аналогом лапласиана для малых значений гравитационного потенциала (малых относительно c²). 2. Если выразить тензор Риччи из уравнения ОТО R(i,j) = 8πG/c⁴·(T(i,j) - T·g(i,j)/2) - Λ·g(i,j), то правая часть будет аналогом распределения массы в уравнении Пуассона для ньютоновского гравитационного поля Lap(V) = 4πG·ρ. Чтобы показать это, мы задаём тензор пыли Tdust(ω₁,ω₂) = ρ·ω₁(d/dt)·ω₂(d/dt). Интерпретировать это выражение можно по аналогии с дифференциалом функции на многообразии f. df(v) показывает, насколько быстро меняется f в направлении v. Соответственно, мы можем говорить, что ω(d/dt) – некая мера протяжённости формы вдоль времени. Tdust говорит, что в отличных от времени направлениях ничего не меняется, а в направлении времени изменения пропорциональны ρ. Это можно интерпретировать как пространство, равномерно заполненное существующей бесконечно во времени пылью. Tdust – тензор от форм (элементов пространства), у него верхние индексы. В уравнении ОТО нужен тензор от векторов. Требуются преобразования, чтобы понизить индексы. Выполнив эти преобразования, и вычисляя правую часть уравнения (преобразования и вычисления мы проводим с ньютоновской метрикой g), мы видим, что уравнение ОТО действительно аналогично уравнению Пуассона при малых значениях гравитационного потенциала. #физика, #геометрия и #lisp, #иммуроран и современный #матан 1P.S. В D²x = -grad[V](x) минус градиент, очевидно, потому что V – это гравитационный потенциал, а силы в ньютоновской механике направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии. Градиент же направлен в сторону максимального роста V.